積分

積分法定式は原点に接するとき、1次式では、第一象限においてx軸と関数が作る面積を算出することができます。
2次式以上は曲線が入るので積分関数の1/nが成り立つのか解りませんが。
そういえば、積分の偶次数と奇次数を用いたa~-aの定義域における証明はかっこいいですよね。
∫a~-a (bx+c)^2n dx = 2∫a~0 (bx+c)^2n dx
∫a~-a (bx+c)^2n-1 dx = 0
∫a~-a (X)^2n dx = 2∫a~0 (X)^2n dx
∫a~-a (X)^2n-1 dx = 0
拡張すると、以上のようにすることができるので、微分⇔積分の証明としては、シンプルで素晴らしいですね。
xへと代入しただけなので、面積上合っているのかどうかはわかりませんが。

とりあえず、texによりイメージ化した数式を載せておきます。
\[\int_{-a}^{a}(bx+c)^{2n} dx = \int_{0}^{a}(bx+c)^{2n} dx\] \[\int_{-a}^{a}(bx+c)^{2n-1} dx = 0\] \[\int_{-a}^{a}(X)^{2n} dx = \int_{0}^{a}(X)^{2n} dx\] \[\int_{-a}^{a}(X)^{2n-1} dx = 0\]
積分法と面積について、一つ。 積分法はdx(x)=x=1/2x^2,dx(X)=x^2=1/3x^3...ですが、このとき原点から伸びるグラフ上では関数から降ろした垂線とx軸と関数が成す、三角形、そして二次以降の図形について積分関数と等しい面積を持つものと考えられます。
1次方程式では、x*y*1/2であり、y=xの関数では1/2x^2であり、2次方程式では、アルキメデスの取り付くしの方法と、コーシの証明から、1/3x^3であると考えられます。
それ以降も取り付くしの方法により、等しくなるものと考えられます。

1項の積分方程式プログラムを載せておきます。
pow関数を用いたプログラムも載せておきます。