階乗

階乗は階乗と特定の数の積の和で現すことができます。
(n-m)!+(n-m)(n-m)!+(n-(m-1))(n-(m-1))!+ … (n-1)(n-1)!=n!
となります。
(n-1)!+(n-1)(n-1)!=n!
(n-2)!+(n-2)(n-2)!+(n-1)(n-1)!=n!
が成り立つような気がしています。
成り立てばスターリング級数みたいに面白いこともできそうですが。
例えば、
(n-1)!+(n-1)(n-1)!=n!
のときn-1をmとおくと、
m!+m{(m-1)!+(m-1)(m-1)!}=n!
となります。これを繰り返せば、1!+1*1!からn-1回の階乗により、値を算出することができそうです。
またmをrとし、P,C,を用いた式に代入すると、
nPr=(n-r)!/(n-r)!+(n-r)(n-r)!/(n-r)!+(n-(r-1))(n-(r-1))!/(n-r)!+…+(n-1)(n-1)!/(n-r)!
=1+(n-r)+…
と
nCr=1/r!+(n-r)/r!+…
となります。
より一般的な拡張として、
n!=(n-r)!+(nRr-1)*(n-r)!
が成り立ちます。