微分は二次、三次において、f(x)=x^2+2x+1 f'(x)=2x,f(x)=x^3+3x^2+3x+1 f'(x)3x^2+6x+3となりますが、これは展開式にのみあてはまるようです。
(x+1)^2=2(x+1)ですから、等しいですが、a^2x^2+2ax+1=2a^2x+2aになると、(ax+1)^2=2(ax+1)となり当てはまりませんね。
a^2x^2+2ax+1=2(ax+1)とするためには、axを一体とみてXとして微分するといいようですね。定義による微分を行うとそのようになりますから。
どうでしょうか。趣味の範囲を超えているので、間違っているのかもしれませんが…
微分の交換法則では、上記を用いないとすると、f(n)=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-(n-1))の階乗が、公式{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)により、
f'(n)=(n-1)(n-2)(n-3)…+nQ'、Q'=(n-1)(n-2)(n-3)…(n-(n-1))'に微分されます。
これが正しければ、∫{(n-1)(n-2)(n-3)…}dt+nQ'dtにより積分され元の階乗に戻るはずです。
誤っているならば、背理法により、公式と微分の足し算による分解の公式は成り立たないといえるはずです。
一項の微分方程式のプログラムを載せておきます。
pow関数を用いたプログラムも載せておきます。