二次ディオファントス方程式において正整数a,b,cがあるとき、ax^2+by=cがy>0,x>0,a>0,b>0,c>0のとき、正整数解を持つかどうかでP=NPは判定できる。条件により、xは正の整数。
式を変形し、y=(-ax^2+c)/bとし、
xが偶数のとき、x=2nから-ax^2=-a4n^2となり、cが偶数の時、c=2l>4an^2となり、2l-4an^2が素因数分解できるかに帰着され、cが奇数の時、c=2l+1>4an^2となり、(2l+1)-4an^2が素因数分解できるかに帰着する。
xが奇数のとき、x=2n+1から-ax^2=-a(4n^2+4n+1)となり、cが偶数の時、c=2l>a(4n^2+4n+1)となり、2l-a(4n^2+4n+1)が素因数分解できるかに帰着され、cが偶数の時、c=2l+1>a(4n^2+4n+1)となり、(2l+1)-a(4n^2+4n+1)が素因数分解できるかに帰着する。
これにより、P=NPは素因数分解の多項式時間でのNP完全、もしくはNP困難に依存する。
ここで(-ax^2+C)=mと置く。ここでm/rまでの素因数分解が試みられているとすると、残りは最大m/r回の試行ですむ。
よって試行回数Rは最大でも、
R=r+m/rとなり、R=(r^2+m)/rとなる。
rが十分小さいとき(m/r)>rとなり、この時r=Maxが最適。
r=(m/r)のとき、(2m/r)=2rが最適。
rが十分大きいときr>(m/r)となり、この時(n/r)=Maxが最適。
ここでr=(m/r)とする。mが奇数の時は+1しても構わない。
すると、(2m/r)=2rとなり、m=r^2が導ける。これをRに代入すると、R=(2r^2)/rとなり、R=2r。
ここでrにm=r^2を代入すると、R=2√m=2(m)^(1/2)となる。
よって素因数分解は最大でもR=2√mで行うことができる。これに偶数と奇数の4通りをかけても、R=8√mで計算できる。
これはO=(m^(1/2))であり、多項式時間ではない。よってP=NP。
検証の為、工事中。
個人的には修正点は無いようだが…。